Լեոնիդ Ենգիբարյանը ծնվել է Մոսկվայում: Նրա հայրը եղել է շեֆ-խոհարար և աշխատել է «Մետրոպոլ» ռեստորանում։ Ենգիբարյանների ընտանիքը ապրել է մեկ հարկանի փայտե տանը՝ Մոսկվայի Մարյինա Ռոշչայում:
Մինչև իր կյանքը կրկեսին նվիրելը Ենգիբարյանը փորձել է մի քանի այլ մասնագիտություններ։ 1952-ին ավարտելով միջնակարգ դպրոցը` ընդունվել է ձկնային տնտեսության ինստիտուտ։ Սակայն այնտեղ սովորել է ընդամենը կես տարի և տեղափոխվել ֆիզկուլտուրայի ինստիտուտ։ Այդ ժամանակ նա պրոֆեսիոնալ բռնցքամարտիկ էր և մինչև 50-ականների կեսերը լավ արդյունքների էր կարողացել հասնել այդ բնագավառում։ 1952-1953 մրցաշրջանում բռնցքամարտի Մոսկվայի առաջնությունում Ենգիբարյանը տանում է 9 հաղթանակ և պարտվում ընդամենը մեկ անգամ։ Արդյունքում գրավում է 3-րդ տեղը իր քաշային կարգում։ 1952-ին սկսելով երրորդ կարգից` 1954-ին արդեն առաջին կարգային բռնցքամարտիկ էր։ 1955-ին Կրկեսային արվեստի պետական ուսումնարանում բացվում է կլոունադայի բաժին և Լեոնիդը ընդունվում է այդտեղ։ 1959-ին, ավարտելով ուսումնարանը, գալիս է Երևան և ընդունվում հայկական կրկեսախումբ։ 1956-ից Լեոնիդը նկարահանվել է կինոյում։ 1958 թ. նա հայտնվել էր «Կոմունիստ» ֆիլմի փոքրիկ մի դրվագում` խաղալով կինոնկարի գլխավոր հերոսին սպանող հանցագործներից մեկի կերպարը։ 1962-ին արտիստին առաջարկեցին կինոյում խաղալ ինքն իրեն։ Հենրիկ Մալյանը և Լ. Իսահակյանը մտահղացել էին ֆիլմ նկարել կրկեսի ծաղրածուի մասին և այն անվանել էին «Ճանապարհ դեպի կրկես»(1963 թ.)։1964-ին Պրահայում տեղի ունեցած ծաղրածուների միջզգային մրցույթում Ենգիբարյանն արժանանում է առաջին մրցանակի` Է. Բասի անվան գավաթին։ 1960-ականների վերջերը ամենահաջողն էին Ենգիբարյանի ստեղծագործական կենսագրության մեջ։ Նա հաջողութամբ հյուրախաղերով հանդես է գալիս ինչպես ԽՍՀՄ-ում, այնպես էլ նրա սահմաններից դուրս (Ռումինիա, Լեհաստան, Չեխոսլովակիա)։ Կրկեսից բացի հանդես է գալիս էստրադայում«Մնջախաղի երեկոներով»։ Բացի այդ գրում է փայլուն արձակ ստեղծագործություններ։ Կինոյում նկարահանվում է այնպիսի վարպետների մոտ, ինչպիսիք են Սերգեյ Փարաջանովը («Մոռացված նախնիների ստվերները»,1964 թ.), Ռոլան Բիկովը(«Այբոլիտ-66» 1967 թ.), նույն թվականին նկարահանվում է «Մանեժում պատանեկությունն է» ֆիլմում։ Վասիլի Շուկշինը («Վառարան-նստարաններ», 1972), Թենգիզ Աբուլաձեն («Վզնոց իմ սիրելիի համար», 1972)։ Այդ նույն ժամանակ էլ նկարահանվում են տաղանդավոր ծաղրածուի ստեղծագործության մասին պատմող երկու ֆիլմ. «Ծանոթացեք` Լեոնիդ Ենգիբարյան» և «2 Լեոնիդ 2»։ Ենգիբարյանը գրել է «Առաջին ռաունդ» 1971 թ., «Վերջին ռաունդ» 1984 թ. գրքերը(երկուսն էլ ռուսերեն), արձանագիր և կինոռեժիսոր Վասիլի Շուկշինը նրան համարել է հիանալի գրող։ 1971-ին Ենգիբարյանը հեռանում է «Սոյուզգոսցիրկից»` այն բանից հետո, երբ իր գործընկեր Բելովին չեն թույլատրում իր հետ մեկնել արտասահմանյան հյուրախաղերի։ Ենգիբարյանը ստեղծել է մնջախաղի էստրադային թատրոնը՝ սկզբնավորելով ինքնատիպ, նոր՝ «ենգիբարյանական ուղղությանը»: Լավագույն ներկայացումներից են «Աստղային անձրև», «Ծաղրածուի տարօրինակությունները»: Նա ստեղծել է ողբերգական և կատակերգական տեսարանները, բազմազան կերպարներ ու իրավիճակներ, կիրառել բարդ հնարքներ, որոնք ցուցադրել է նաև կրկեսում։ Խոհափիլիսոփայական երանգ ունեն Ենգիբարյանի «Փողոցային ակրոբատ», «Քայլեր», «Ողջ ու մեռածը», «Բռնցքամարտ», «Սիրտը ափի մեջ», «Հովանոց», «Ջութակ», «Լույս և ստվեր» և այլ մանրապատումներ։ Մահացել է Մոսկվայի իր բնակարանում։
1972թ.-ին Երևանում ստեղծվել է Ենգիբարյանի անվան մանկական կրկես-ստուդիան(հիմնադիր և ղեկավար՝Սոս Պետրոսյան), կրկեսի շենքի առջև կանգնեցվել է նրա հուշարձանը(1995 թ.), քանդակագործ՝ Լևոն Թոքմաջյան
